Урок математики

Сведение к квадратному трехчлену

Примеры

1) Найти все значения параметра р, при которых уравнение
(p-4)9^x+(p+1)3^x+2p-1=0 имеет два различных решения.
Решение:

Используя замену 3^x=t, t>0, получим уравнение:
(p-4)t²+(p+1)t+2p-1=0/ (1)
Для того, чтобы уравнение (1) имело два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы параметр р удовлетворял системе неравенств:
D>0 и t_в>0^* и f(0)/(p-4)>0,
где *-абцисса вершины параболы;
f(t)=(p-4)9^x+(p+1)3^x+2p-1, f(t)=0;
D=-7(p-5)(p-3/7); f(0)=2p-1; t_в=-(p+1)/(2(p-4)). (2)
Система (2) равносильна следующей системе неравенств:
-7(p-5)(p-3/7)>0 и -(p+1)/(2(p-4))>0 и 2p-1/(2(p-4)). Следовательно
(p-5)(p-3/7)<0 и (p+1)/(p-4)<0 и 2p-1/(2(p-4)); слеовательно 3/7< p<1/2.Ответ:
3/7< p<1/2.

2) Найти все значения параметра а, при которых уравнение log_9x(1+ax)=1/2 имеет единственное решение.
Решение:

Исходное уравнение равносильно следующему l og_9x(1+ax)=log_9x(3х^1/2. (3)
При условиях х>0, х<>1/9, потенцируя (3), получим:
1+ax=3x^1/2 и x>0 и x<>1/9. (4)
Используя замену переменных x^1/2=t, t>0, запишем уравнениеиз (4) в виде:
at²-3t+1=0.
При а=0, t=1/3, x=1/9, что противоречит второму из условий (4).
Единственное решение t>0 обеспечивается, если параметр определен из следующей совокупности:
D=0, и t_в>0;
U
f(0)/a<0;
U
f(0)=0, и t_в>0,(5)
где t_в=3a/2-абцисса вершины параболы f(t)=at²-3t+1. Решим первую систему из совокупности (5):
a=9/4 и 3/2a>0; следовательно a=9/4.
Из неравенства совокупности (5) получаем:
f(0)/a<0; 1/a<0; a<0.
Решая вторую систему совокупности, получаем f(0)=1 и f(0)=0, т.е здесь нет действительных решений.Ответ:
a<0 и a=9/4.

Задачи для самостоятельного решения