Урок математики

Использование свойств функции

Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она не была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира. (Н.И.Лобачевский)

В данном разделе рассматриваются уравнения и неравенства, при решении которых учитываются свойства функций, входящих в исходное уравнение или неравенство, как, например, свойства тригонометрических, показательных, логарифмических функций.

Примеры

1) В зависимости от значений параметра а решить уравнение:((1+а2)/2a)x-((1-а2)/2a)x=1. (1)
Решение:

Так как основания степеней в левой части уравнения должны бать положительными,то,решая
(1+а2)/2a)>0 и (1-а2)/2a)>0
получим, что 0<а<1 (2)
Используя для решения уравнения (1) тригонометрическую подстановку а=tgb и учитывая (2), получаем 0< b< п/4.
Преобразуем основания степеней
(1+а2)/2a=(1+tgb2)/2tgb)=1/sin2b;(3)
(1-а2)/2a=(1-tgb2)/2tgb)=cos2b/sin2b.(4)
Подставляя (3) и (4) в исходное уравнение (1), получим
(1/sin2b)x-(cos2b/sin2b)x=1
следовательно
1=(cos2b)x+(sin2b)x.(5)
Условие 0< b< п/4 накладывает ограничения на множество значений cos2b и sin2b:
0<cos2b<1, 0<sin2b<1.
При х=2 уравнение (5) превращается в основное тригонометрическое тождество.
Из условий монотонности функций f(x)=(cos2b)x+(sin2b)x и ограничений на cos2b и sin2b следует,
что х=2-единственный корень.
Если х<2, то (sin2b)x > (sin2b)2 и (cos2b)x > (cos2b)2, откуда (cos2b)x+(sin2b)x>1
Если х>2, то (sin2b)x < (sin2b)2 и (cos2b)x < (cos2b)2, откуда (cos2b)x+(sin2b)x<1. Ответ:
при а<=0 нет действительных значений х;
при 0<а<1 x=2;
при а>1 нет действительных значений х.

2) При каких значениях параметра а уравнение
2cos2(22x-x2)=a+(3)0,5sin(22x-x2+1) (6) имеет хотя бы одно решение?
Решение:

Используя формулу понижения степени, получаем
2cos2(22x-x2)=1+cos(22x-x2+1)
тогда (6) перепишется в виде:
1+cos(22x-x2+1)=a+(3)0,5sin(22x-x2+1) следовательно
0,5+0,5cos(22x-x2+1)=0,5a+((3)0,5/2)sin(22x-x2+1);
0,5cos(22x-x2+1)-((3)0,5/2)sin(22x-x2+1)=0,5a-0,5;
cos(п/3+22x-x2+1)=(a-1)/2.(7)
Функция 22x-x2+1 больше нуля и имеет максимум, равный 4, поэтому п/3< п/3+22x-x2+1<= 4+п/3 откуда следует (учитывая (7)),
что 0,5<cos(п/3+22x-x2+1)=.
Поэтому заданное уравнение имеет решение, когда 0,5<(a-1)/2<=1; 2< a<= 3.Ответ:
2< a<= 3.

Задачи для самостоятельного решения

Hosted by uCoz