Урок математики

Использование области допустимых значений

Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она не была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира. (Н.И.Лобачевский)

Решение задач с параметрами начинается с исследования. Отдельными элементами исследования являются формирование условий нахождения области допустимых значений (ОДЗ) уравнений или неравенств, т.е. нахождение множества значений неизвестного и параметров, в пределах которого определены все рассматриваемые функции. После формирования ОДЗ, как правило, исходное уравнение сводиться к равносильному уравнению либо к равносильной системе уравнений и неравенств, но при этом следует учитывать и равносильность преобразований.

Примеры

1) Решить при всех значениях параметра а уравнение loga2xx=2. (1)
Решение:

Рассмотрим ОДЗ уравнения: x > 0; a2x > 0; a2x <> 1. Решая уравнение (1), получаем: x = (a2x) 2 или x = 1/a4. Теперь, учитывая ОДЗ, исключаем решения, которые не входят в область допустимых значений, т.е. x <> 1/a2 или 1/a2<>1/a4следовательно a <>+-1. Таким образом, получаем следующий ответ:

при a =0 и a=+-1 нет действительных значений х;
при а=0, а <1, а>1 х=1/ a4.

2) Решить при всех значениях параметра а неравенство loga-3(х+2)>1 (2)
Решение:

Сформулируем ОДЗ неравенства (2):
а-3>0 и х+2>0 и а-3<>1;
а>3 и х>-2 и а<>4.
Неравенство (2) равносильно следующей совокупности двух систем:
а-3>1 и х+2>а-3
U
0следовательно
а>4 и х>а-5
U (3)
3 С учетом ОДЗ и решений совокупности (3) получаем ответ:
при а<3 и а=4 нет действительных значений х;
при 3<а<4 -2<х<а-5;
при а>4 х>а-5.

Задачи для самостоятельного решения

Hosted by uCoz